ECUACIONES LINEALES

ECUACIONES LINEALES

Una ecuación es una igualdad de una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas. Así:

Las ecuaciones lineales o de primer grado, se reconocen  porque el mayor exponente de su incógnita es 1.

Resolución de ecuaciones lineales con una sola incógnita

Reglas generales

-      Se efectúan las operaciones indicadas si las hay.

-     Se hace la transposición de términos, reuniendo en un miembro todos los términos que contenga la incógnita y el otro todas las cantidades conocidas.

-      Se reducen términos semejantes en cada miembro

-      Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita.

Ejemplo

Resolver la ecuación 

Pasando  -30x  al primer miembro, 35 y 6 al segundo miembro.  

Transposición de términos

Consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro al otro, siempre y cuando se le cambie el signo al pasarlo.

Donde b que estaba en el primer miembro de la ecuación dada, ha pasado al segundo miembro con signo negativo.

Otra regla dice que términos con signos iguales en distintos miembros de una ecuación puede suprimirse, así.

Resolución de ecuaciones lineales con signos de agrupación.

Ejemplo

Resolver  

Suprimiendo los paréntesis interiores

Suprimiendo las llaves

Multiplicando por -1

PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES LINEALES

El planteamiento de problemas de la vida real requiere para su solución, la representación de números reales, mediante símbolos, lo cual hace

posible encontrar el valor de las incógnitas en el problema que planteamos.

Problema 1

Pague $87 por una pluma, una agenda y una cartera. La cartera costo $5 más que la pluma y $20 menos que la agenda. ¿Cuánto pague por cada artículo?

Siendo  x = precio de la pluma

Como la cartera costo $5 más que la pluma:

La cartera costo $20 menos que la agenda, por lo que esta costo $20 más que la cartera:

Como todo costo $87, la suma de los precios de la pluma, la agenda y la cartera tiene que ser igual a $87; entonces tenemos la ecuación:

Resolviendo

Problema 2

La suma de tres números consecutivos es 156. Hallar los números

Dado que la suma de los tres números es 156, se tiene la siguiente ecuación

Problema 3

Entre A  y B tienen $81. Si a pierde $36, el doble de lo que le queda equivale al triple de lo que tiene B ahora. ¿Cuánto tiene cada uno?

Si A pierde $36, se queda con $ (x – 36), y el doble de esta cantidad 2 (x – 36) equivale al triple de lo que tiene b ahora, o sea, al triple de  (81 -  x); tenemos la ecuación:

Ecuación lineal con fracción.

Muchos problemas de la vida real pueden plantearse con en términos de ecuaciones por lo tanto, una vez planteados pueden resolverse por los métodos expuestos anteriormente.

Problema 1

Un padre tiene 40 años y su hijo 15. ¿Dentro de cuantos años la edad del

hijo será 4/9 de la del padre?

Siendo x el número de años que deben transcurrir para que la edad del

hijo sea  4/9 a la del padre, dentro de x años la edad del padre será 40 +  x 

años, y la edad del hijo 15 + x años

Tenemos la siguiente ecuación

La respuesta es: dentro de 5 años.

Problema 2

El denominador de una fracción excede al numerador en 5. Si el

denominador se aumenta en 7, el valor de la fracción es 1/2 hallar la fracción.

Siendo x = numerador de la fracción

Como el denominador excede al numerador en 5: x + 5, donde esto sería igual al denominador de la fracción.

Por lo tanto,  la fracción será :
                                                           

Si el denominador de esta fracción se aumenta en 7, la fracción equivale a 1/2; por tanto tendremos la ecuación:

  

Y en el denominador

La fracción buscada es: 12/17.





SISTEMAS DE ECUACIONES

Un sistema de ecuaciones es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas. Por ejemplo

Forman un sistema de dos incógnitas de primer grado con dos incógnitas.

La solución de un sistema de ecuaciones es un grupo de valores de las incógnitas que satisface todas las ecuaciones del sistema. (la solución del sistema anterior es  x = 2 , y = 3).

Un sistema de ecuaciones es posible o compatible cuando tiene solución, y es imposible o compatible cuando no la tiene. Por otro lado, un sistema compatible es determinado cuando tiene una sola solución e indeterminado cuando tiene infinitas soluciones.

Sistema de ecuaciones simultaneas lineales con 2 incógnitas.

Para resolver un sistema de este tipo es necesario obtener de las dos ecuaciones dadas una sola ecuación con una incógnita y a esta operación se le llama eliminación.

Los métodos de eliminación más usuales son el de igualación, sustitución, y de reducción (este también llamado de suma o resta).

Eliminación por igualación.

Resolver el sistema

Despejamos cualquiera de las incógnitas, por ejemplo x, en ambas ecuaciones.

Despejando x  en (1)

Despejando x en (2)

En seguida se igualan entre sí los dos valores de x obtenidos:

Y ya tenemos una ecuación con una sola incógnita al haber eliminado la x.

Resolviendo esta ecuación tenemos:

Al sustituir este valor de Y en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1) tenemos:

Como podemos ver tenemos el valor de nuestras dos incógnitas. 

Eliminación por sustitución

Resolver el sistema:

Despejamos cualquiera de las incógnitas, por ejemplo x, en una de las ecuaciones, en este caso la (1), y tendremos.

 Sustituimos este valor de x en la ecuación (2)

Y ya tenemos una ecuación con una incógnita, al haber eliminado la x.

Para resolver esta ecuación simplificamos 8 y 2 con lo que nos queda:

Sustituyendo y = -5  en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1) tenemos

Como podemos ver tenemos el valor de nuestras dos incógnitas.

Método de reducción

Resolver el sistema

Con este método se busca igualar los coeficientes de una de las incógnitas. Aquí igualaremos los coeficientes de y en ambas ecuaciones, porque es lo más sencillo.

Primero debemos encontrar El m.c.m de los coeficientes de y, en este caso los coeficientes son 6 y 3, y el m.c.m de estos es 6.

Luego, Buscamos la manera de poder cancelar la y, para esto multiplicamos todos los términos de la segunda ecuación por 2, porque 2 x 3 = 6, y tendremos:

Vemos que los coeficientes de y que igualamos tienen signos distintos, por lo tanto sumamos ambas ecuaciones para poder cancelar la y, así:

Sustituyendo x = -2 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1) tenemos:

Resolver el sistema

Igualmente los coeficientes de x. el m.c.m  de 10 y 8 es 40. Se multiplica la primera ecuación por 4, y la segunda ecuación por 5.

Como los coeficientes que igualamos tienen signos distintos, se restan ambas ecuaciones para eliminar la x, cambiando los signos a cualquiera de ellas, por ejemplo a la segunda, tenemos

Al sustituir  y =  1/3  en (2) tenemos

El método expuesto, que es el  mas sencillo, se le conoce también como suma o resta, porque según vimos en los ejemplos anteriores, si los coeficientes que se igualan tienen signos distintos, se suman las dos ecuaciones, y si tienen signos iguales se restan las dos ecuaciones.

Resolución de ecuaciones 2*2 por determinantes

Resolver por determinantes

Un determinante lo podemos obtener si del producto ab restamos el producto cd, obtendremos la expresión ab – cd, que puede escribirse con la siguiente notación:

Ya teniendo el esquema podemos resolver de la siguiente manera:

Si resolvemos la anterior ecuación por determinantes tenemos:

RESOLUCIÓN GRÁFICA DE UN SISTEMA 2*2

Resolver gráficamente el sistema

Hay que hallar la intersección de estas dos rectas, representamos ambas ecuaciones.

En x + y = 6 tenemos                     En 5x – 4y = 12 tenemos

Para x = 0,  y = 6                            para x = 0, y = -3

        
         y = 0,  x = 6                                   

gráficamente el sistema  

En x + y = 6 tenemos                     En 5x – 4y = 12 tenemos

Para x = 0,  y = 6                            para x = 0, y = -3

         y = 0,  x = 6                                    y = 0,  x= 2(2/3) 

Regla de Cramer:

Es un teorema del álgebra lineal que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704-1752), quien publicó la regla en su introduction a l´analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 ( y probablemente sabía el método desde 1729). 

La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación gaussiana para matrices pequeñas particularmente cuando son usadas operaciones SIMD.

MÉTODO 2X2

Descripción:

Ejemplos de cómo solucionar un sistema de ecuaciones 2X2 por el método o regla de Cramer. Este método, mediante el uso de determinantes, permite encontrar una solución siempre que exista y sea única.

Se muestra un par de ejemplos de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Se explica un método para la solución de sistema de ecuaciones lineales conocido como la regla de creamer. Este método nos permite encontrar la solución a sistemas con dos ecuaciones y dos incógnitas mediante el empleo de determinantes, siempre y cuando la solución exista y sea única, también debemos asegurarnos de que las ecuaciones sean lineales, tengamos las incógnitas elevadas a la potencia 1, y que las operaciones que se estén realizando entre ellas sean suma y resta. 

El método de Cramer que para solucionar este tipo de sistemas la incógnita "X" es igual a la determinante de la incógnita "X" sobre el determinante total del sistema (X=AX/A). La incógnita "Y" es igual al determinante de la incógnita "Y" sobre el determinante total del sistema (Y=AY/A).

Para encontrar los determinantes es necesario reescribir el sistema de ecuaciones utilizando coeficientes, pero antes de ello debemos ordenar las ecuaciones, es decir, si en la primera ecuación comenzamos con la incógnita "X" luego sigue la incógnita "Y" y está igualando a un término independiente, la segunda ecuación debe estar de forma análoga. Una vez estén ordenadas las ecuaciones procedemos a escribir los coeficientes de una manera matricial, en el que la primera columna contiene los coeficientes de "X", la segunda columna contiene los coeficientes de "Y", y la tercera columna contiene los términos independientes.

El determinante total del sistema es el determinante que formamos con la columna de incógnitas, es decir las dos primeras. Para calcular un determinante 2x2, como el resultante, multiplicamos la diagonal principal y e restamos el producto de la diagonal secundaria. Para encontrar el determinante de "X" lo formamos sustituyendo la primer columna por la columna de los términos independientes y dejando intacta la columna de "Y".

El determinante sería entonces el producto de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria. De igual manera se procede para hallar el determinante de "Y", el cual se forma dejando intacta la columna de "X", y cambiando la columna "Y" por la columna de los términos independientes. Al final para encontrar el valor de las incógnitas, basta solo con sustituir los valores de cada determinante y el determinante total, y así hallamos "X" y "Y".

EJEMPLOS: 

1-   Una persona invierte una parte de su dinero al 25%, y el resto al 20% recibiendo intereses de $200.000. Si intercambia las inversiones, el ingreso por el interés se incrementa en $5.000. ¿Cuánto invirtió en cada tasa?

SOLUCIÓN:

X=25%          Y=20%

El porcentaje se pasa a número decimal. (X100)

0.25X + 0.20Y = 200.000

0.20X + 0.25Y = 205.000

El numero decimal se pasa a numero entero (x100)

25X + 20Y = 20.000.000

20X + 25Y = 20.500.000

 Simplificar. (/5)

5X + 4Y = 4.000.000   (formula 1)

4X + 5Y = 4.100.000   (formula 2)


*Hallamos la Determinante total del sistema:

*La Determinante de x:

* Determinante de y:

* Hallamos el valor de "x" y "y":

2- Una empresa paga a sus representantes de ventas con base en un porcentaje de los primeros $100.000 en ventas, más otro porcentaje sobre cualquier cantidad que sobrepase esos $100.000. Si un representante recibió $8.500 por ventas de $175.000 y otro recibió $14.800 por ventas de $ 280.000, encuentre los dos porcentajes.

SOLUCIÓN:

  100.000X + 75.000Y = 8.500           

  100.000X + 180.000Y = 14.800

Simplificar. (/100)

1000X + 750Y = 85           (formula 1)

1000X + 1800Y = 148       (formula 2)

*Hallamos la Determinante total del sistema:

*La Determinante de x:

* Determinante de y:

* Hallamos el valor de "x" y "y":

3- Una compañía fabrica artículos electrónicos, sus modelos son el A1 y A2. Para fabricar cada unidad de A1, se usan 6 amperímetros y 3 condensadores. Para fabricar cada unidad de A2, se emplean 10 amperímetros y 8 condensadores: la compañía recibe un total de 760 amperímetros y 500 condensadores diarios de sus proveedores. ¿Cuántas unidades de cada modelo puede producir diariamente?

SOLUCIÓN:

X=A1       Y=A2

                                                                                         

  6X + 10Y = 760   (formula 1)          

  3X + 8Y = 500    (formula 2)

*Hallamos la Determinante total del sistema:

*La Determinante de x:

* La Determinante de y:

* Hallamos el valor de "x" y "y":

METODO 3X3

Descripción: 

Ejemplo de como solucionar un sistema de ecuaciones 3x3 por el método o regla de Cramer. Se muestra un ejemplo de como encontrar la solución a un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas mediante la regla d Cramer, la cual mediante el uso de determinantes nos lleva al resultado para cada una de las incógnitas.

Para calcular las determinantes 3x3 que se forman se utiliza la regla de Sarrus. 

Veremos el procedimiento para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas mediante el método o regla de Cramer. Para ver en que consiste este método. Se propone resolver el siguiente problema: Hallar la solución del siguiente sistema de ecuaciones: la primera ecuación es: 1) X + Y + Z = 400, la segunda ecuación es: 2) X + Y + 2Z = 600 y la tercera ecuación es: 3) 2X + 3Y + 5Z = 1500. 

Para resolver este sistema de ecuaciones por este método lo primero que debemos hacer es ordenar nuestro sistema de ecuaciones, como vemos en este caso nuestro sistema de ecuaciones se encuentra ordenado, una vez que el sistema este ordenado lo que debemos hacer es expresar nuestro sistema como una matriz aumentada en donde la primera columna estará conformada por los coeficientes que acompañan la "X" en cada una de las ecuaciones, la segunda columna estará conformada por los coeficientes que acompañan la "Y" en cada una de las ecuaciones, la tercera columna estará conformada por los coeficientes que acompañan la letra "Z" en cada una de las ecuaciones y en donde la cuarta columna contiene los términos independientes de cada una de las ecuaciones. 

La regla de Cramer nos dice que si tenemos un sistema de ecuaciones de este tipo podemos hallar a "X", "Y" y "Z" con las siguientes relaciones: X=(AX/A) , Y=(AY/A) y Z=(AZ/A) en donde "A" es el determinante que se forma con los coeficientes de las "X", las "Y" y las "Z", "AX" es el determinante que surge al reemplazar la columna de coeficientes "X" por la columna de resultados, "AY" es el determinante que surge al reemplazar la columna de los coeficientes de "Y" por la columna de resultados y "AZ" es el determinante que surge al reemplazar la columna de los coeficientes de "Z" por la columna de resultados. 

El determinante se halla multiplicando el diagonal de la columna X con el diagonal de la columna Y y la columna Z, así mismo con el segundo y tercer término de la columna X, para obtener un producto sumando los resultados, luego se resta el producto obtenido de la multiplicación del diagonal de la columna Z y la columna Y y la columna X para obtener el determinante, esta multiplicación se logra duplicando las dos primeras filas o columnas de la matriz, como se verá en el siguiente ejemplo.

De esta misma manera se hallan el determinante X, Y y Z.   

EJEMPLOS: 

1-   Una empresa produce tres tipos de muebles: Tipo A, Tipo B, y Tipo C. Cada uno requiere de madera, plástico y aluminio, como se indica e la tabla siguiente. La empresa tiene en existencia 400 unidades de madera, 600 unidades de plástico y 1500 unidades de aluminio. La empresa quiere utilizar todas sus existencias. Para hacer esto, ¿cuántos muebles de cada tipo debe fabricar?  

	MADERA            PLÁSTICO          ALUMINIO
TIPO  A	1 UNIDAD            1 UNIDAD          2 UNIDADES
TIPO  B	1 UNIDAD            1 UNIDAD          3 UNIDADES
TIPO  C	1 UNIDAD            2 UNIDADES     5 UNIDADES

SOLUCIÓN:

Tipo A   Tipo B   Tipo C

   X      +   Y     +    Z       = 400        (formula 1)          

  X      +    Y     +   2Z      = 600       (formula 2)                                  

 2X     +   3Y    +    5Z     = 1.500    (formula 3)   


*Hallamos la Determinante total del sistema: 

*La Determinante de x:

*La Determinante de y:

*La Determinante de z:

*Hallamos el valor de "x", "y" y "z":

2-  Una empresa paga a sus trabajadores calificados $15 por hora en su departamento de ensamblado. Trabajadores semi-calificados de ese departamento ganan $9 por hora. A los empleados de envíos se les paga $10 la hora. A causa de un incremento en los pedidos, la empresa necesita contratar un total de 70 trabajadores en los departamentos de ensamblado y envíos. Pagará un total de $760 por hora a estos empleados. A causa de un acuerdo con el sindicato, deben emplearse el doble e trabajadores semi-calificados que de trabajadores calificados, ¿ cuántos trabajadores semi- calificados, calificados y empleados de envíos debe contratar la empresa?. 

SOLUCIÓN:

X: Trabajadores Calificados

Y: Trabajadores Semi-calificados

Z: Empleados de envíos

      X     +   Y      +     Z      = 70        (formula 1)          

 -2 X      +  Y       +    0       = 0         (formula 2)                                  

 15X      +  9Y     +  10Z     = 760     (formula 3) 


*Hallamos la Determinante total del sistema: 

*Determinante de x:

*Determinante de y:

*Determinante de z:

*Hallamos el valor de "x", "y" y "z":

3-  Una farmacia vende tres clases de pastillas de suplemento vitamínico. Cada tableta contiene vitaminas B1, B2 y C. El contenido en miligramos de cada tipo de tableta está indicado en la siguiente matriz.  

Pastillas
1		2	3
B1	20	10	15
B2	15	15	15
C	50	150	100

¿Cuántas pastillas hay que tomar de cada una para recibir 600 mg de vitamina B1, 600 mg de vitamina B2 y 3400 mg de vitamina C?

SOLUCIÓN:

   Tipo 1        Tipo 2     Tipo 3

   20X      +   10Y     +   10 Z     = 600        :   B1          

  15X      +    15Y     +   15Z      = 600       :   B2                                

 50X      +   150Y     +  100Z     = 3.400   :    C          

Simplificar (/5)                  

20X + 10Y + 10Z = 600              (formula 1)

15X + 15Y + 15Z = 600              (formula 2)

15X + 150Y + 100Z = 3.400       (formula 3)

*Hallamos al Determinante total del sistema: 

*Determinante de x:

*Determinante de y:

*Determinante de z:

*Hallamos el valor de "x", "y" y "z":

4-  Una empresa de calzado fabrica tres clases de zapatos de acuerdo al cuero con el cual se diseñan: Normal, Nobú y Becerro. Los zapatos pueden ser botas, botines y zapatos de lujo. En la siguiente tabla las filas indican las clases de cuero y las columnas las clases de zapatos.

	Botas	Botines	Zapatos de L.
Normal	4	5	7
Becerro	6	1	2
Nobú	4	6	8

Si se tienen en este momento disponible (en pares de zapatos) 175 unidades de cuero normal, 70 unidades de cuero de becerro, 200 unidades de cuero Nobú, ¿cuántos pares de zapatos de cada clase se pueden diseñar?

SOLUCIÓN:

X= número de botas

Y= número de botines

Z= número de zapatos de lujo

4X + 5Y + 7Z = 175      (formula 1)

6X + Y + 2Z = 70          (formula 2)

4X + 6Y + 8Z = 200      (formula 3)

*Hallamos la Determinante total del sistema:

*Determinante de x:

*Determinante de y: 

*Determinante de z:

*Hallamos el valor de "x", "y" y "z":

Hay tres pautas básicas: Tomarse enserio las cosas que uno hace, dedicarse en cuerpo y alma a lograr el objetivo que uno se ha impuesto,  y convencerse de que lo importante en la vida es terminar lo que se empieza.

Josef Ajram